L’écart-type et la variance mesurent la dispersion d’une série de données autour de sa moyenne. Saisissez vos valeurs dans l’outil ci-dessous pour les obtenir instantanément, avec le détail du calcul.
Qu'est-ce que la variance et l'écart-type ?
La variance et l'écart-type sont les deux principaux indicateurs de dispersion en statistiques descriptives. La moyenne d'une série vous indique son centre, mais elle ne dit rien de la façon dont les valeurs se répartissent autour de ce centre. Deux classes peuvent afficher la même moyenne de 12 sur 20 alors que l'une regroupe des notes très proches et l'autre mélange des 4 et des 19 : c'est précisément ce que l'écart-type révèle. La variance correspond à la moyenne des carrés des écarts à la moyenne ; l'écart-type est simplement sa racine carrée, ce qui présente l'avantage d'être exprimé dans la même unité que les données d'origine, qu'il s'agisse d'euros, de centimètres ou de points. Un écart-type faible traduit des valeurs homogènes, resserrées autour de la moyenne ; un écart-type élevé signale au contraire une forte hétérogénéité. Pour retrouver le centre de votre série avant d'en mesurer la dispersion, notre calculatrice de moyenne reste le point de départ naturel.
Les formules de la variance et de l'écart-type
Le calcul repose sur une même logique : mesurer, pour chaque valeur, son écart à la moyenne, élever cet écart au carré afin que les valeurs négatives ne s'annulent pas avec les positives, puis faire la moyenne de ces carrés. La seule subtilité tient au diviseur employé, qui diffère selon que l'on travaille sur une population entière ou sur un échantillon. Le tableau ci-dessous récapitule les deux formules de référence à connaître.
| Situation | Diviseur | Variance | Écart-type |
|---|---|---|---|
| Population entière | N | σ² = Σ(xᵢ − μ)² / N | σ = √σ² |
| Échantillon | n − 1 | s² = Σ(xᵢ − x̄)² / (n − 1) | s = √s² |
Le symbole σ (sigma minuscule) désigne l'écart-type d'une population, tandis que la lettre s est réservée à l'écart-type d'un échantillon. La lettre grecque μ représente la moyenne de la population et x̄ celle de l'échantillon. Le passage au carré, puis la racine carrée finale, expliquent pourquoi la maîtrise des puissances et racines carrées facilite grandement ce type de calcul.
Calcul pas à pas : un exemple concret
Prenons une petite série de cinq valeurs : 8, 10, 12, 14 et 16, traitée comme une population entière. La moyenne vaut (8 + 10 + 12 + 14 + 16) divisé par 5, soit 12. On calcule ensuite l'écart de chaque valeur à cette moyenne, puis son carré, comme le détaille le tableau suivant.
| Valeur xᵢ | Écart (xᵢ − 12) | Carré de l'écart |
|---|---|---|
| 8 | −4 | 16 |
| 10 | −2 | 4 |
| 12 | 0 | 0 |
| 14 | 2 | 4 |
| 16 | 4 | 16 |
| Somme | 0 | 40 |
La somme des carrés des écarts s'élève à 40. La variance de la population vaut donc 40 divisé par 5, soit 8, et l'écart-type est égal à la racine carrée de 8, environ 2,83. Si l'on avait considéré ces cinq nombres comme un simple échantillon, on aurait divisé par n − 1, c'est-à-dire par 4, obtenant une variance de 10 et un écart-type de racine carrée de 10, environ 3,16. Le résultat est légèrement plus élevé, car la correction compense la tendance des échantillons à sous-estimer la dispersion réelle de la population.
Population ou échantillon : lequel choisir ?
Le choix du diviseur n'est pas anodin et dépend de la nature exacte de vos données. Lorsque votre série contient l'intégralité des individus étudiés, par exemple les notes de tous les élèves d'une classe ou les salaires de tous les employés d'une entreprise, vous disposez de la population entière et vous divisez par N. En revanche, si vos données ne représentent qu'un prélèvement destiné à estimer les caractéristiques d'un ensemble plus vaste, comme un sondage réalisé auprès de mille personnes pour en déduire l'opinion d'un pays entier, vous êtes face à un échantillon et devez appliquer la correction de Bessel, c'est-à-dire diviser par n − 1. Cette correction augmente légèrement la variance et corrige un biais statistique bien connu : un petit échantillon a mécaniquement tendance à minorer la vraie dispersion, car les valeurs extrêmes de la population ont peu de chances d'y figurer. En pratique, dès que l'effectif dépasse une trentaine d'observations, l'écart entre les deux méthodes devient négligeable ; c'est surtout sur de petits jeux de données que le choix pèse réellement sur le résultat final.
Interpréter l'écart-type au quotidien
Un écart-type n'a de sens qu'au regard de l'ordre de grandeur des données. Un écart-type de 3 sur des notes comprises entre 0 et 20 est important, alors que le même écart-type sur des salaires exprimés en milliers d'euros est infime. Pour comparer la dispersion de séries exprimées dans des unités différentes, on utilise le coefficient de variation, égal au rapport entre l'écart-type et la moyenne, souvent exprimé en pourcentage. Lorsque la distribution suit une courbe en cloche, appelée loi normale, l'écart-type obéit en outre à une règle empirique très utile, résumée dans le tableau ci-dessous.
| Intervalle autour de la moyenne | Part des données |
|---|---|
| moyenne ± 1 écart-type | environ 68 % |
| moyenne ± 2 écarts-types | environ 95 % |
| moyenne ± 3 écarts-types | environ 99,7 % |
Cette règle dite « 68-95-99,7 » permet de repérer d'un coup d'œil les valeurs atypiques : une donnée située à plus de deux ou trois écarts-types de la moyenne mérite souvent une attention particulière, car elle sort nettement du comportement habituel de la série.
L'écart-type parmi les indicateurs de dispersion
L'écart-type n'est pas le seul outil pour décrire la variabilité d'une série. Selon le contexte, d'autres indicateurs le complètent utilement et méritent d'être connus.
- L'étendue, différence entre la valeur maximale et la valeur minimale, offre une mesure immédiate mais très sensible aux valeurs extrêmes.
- La variance, exprimée en unités au carré, sert surtout d'étape intermédiaire et de socle aux calculs statistiques plus avancés.
- L'écart interquartile, qui isole les 50 % de valeurs centrales, résiste bien mieux aux données aberrantes et se lit facilement à partir de la médiane.
- Le coefficient de variation, sans unité, autorise la comparaison de séries d'échelles différentes.
Combinés, ces indicateurs dressent un portrait complet de la dispersion, là où la seule moyenne resterait muette sur la répartition réelle des valeurs.
Questions fréquentes
Quelle est la différence entre variance et écart-type ?
La variance est la moyenne des carrés des écarts à la moyenne ; l'écart-type en est la racine carrée. L'écart-type s'exprime dans la même unité que les données, ce qui le rend bien plus facile à interpréter que la variance.
Faut-il diviser par n ou par n − 1 ?
On divise par N pour une population entière et par n − 1 pour un échantillon. La division par n − 1, appelée correction de Bessel, corrige la sous-estimation de la dispersion propre aux échantillons de petite taille.
Un écart-type peut-il être négatif ?
Non. L'écart-type est la racine carrée d'une somme de carrés : il est toujours positif ou nul. Il n'est égal à zéro que si toutes les valeurs de la série sont identiques, autrement dit lorsqu'il n'existe aucune dispersion.
Que signifie un écart-type élevé ?
Un écart-type élevé indique que les valeurs sont très dispersées autour de la moyenne, donc une forte hétérogénéité. À l'inverse, un écart-type proche de zéro traduit des données homogènes et regroupées autour du centre.
Comment interpréter l'écart-type par rapport à la moyenne ?
On rapporte l'écart-type à la moyenne grâce au coefficient de variation. Un coefficient faible signale une série homogène, un coefficient élevé une série dispersée, ce qui permet de comparer des séries exprimées dans des unités ou des échelles différentes.
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