Trois modes dans le même outil : calculez n factorielle (n!), le nombre de combinaisons C(n,k) pour choisir k éléments parmi n sans tenir compte de l’ordre, ou le nombre d’arrangements A(n,k) quand l’ordre compte. Le résultat s’affiche avec la formule détaillée.
Sophie prépare ses vacances : un problème de combinaisons
Sophie part en randonnée une semaine et doit choisir 4 t-shirts parmi les 9 qu'elle possède. Peu importe l'ordre dans lequel elle les mettra — ce qui compte c'est la sélection. Combien de choix différents s'offrent à elle ?
C'est un problème de combinaisons. Sophie choisit 4 éléments parmi 9, et l'ordre n'a pas d'importance. La formule est C(9, 4) = 9! / (4! × 5!). Calculons : 9! = 362 880, 4! = 24, 5! = 120. C(9, 4) = 362 880 / (24 × 120) = 362 880 / 2 880 = 126. Sophie a 126 façons différentes de choisir ses 4 t-shirts parmi 9.
Si en revanche elle voulait choisir l'ordre dans lequel elle les porterait chaque jour (lundi le rouge, mardi le bleu...), ce serait un problème d'arrangements : A(9, 4) = 9! / 5! = 9 × 8 × 7 × 6 = 3 024. Il y a 3 024 façons de choisir et ordonner 4 t-shirts parmi 9.
Pourquoi A(9,4) = 24 × C(9,4)
Cette relation illustre le lien fondamental entre combinaisons et arrangements. Chaque combinaison de 4 t-shirts peut être arrangée dans 4! = 24 ordres différents. Donc le nombre d'arrangements est exactement 4! fois le nombre de combinaisons : A(9,4) = 4! × C(9,4) = 24 × 126 = 3 024.
De façon générale : A(n,k) = k! × C(n,k). C'est la relation qui permet de passer de l'un à l'autre selon que l'ordre compte ou non dans le problème posé.
Sophie joue au loto : un exemple de grandes combinaisons
Curieuse des probabilités, Sophie se demande quelles sont ses chances de gagner au loto. Le tirage du Loto français consiste à tirer 5 numéros parmi 49, puis 1 numéro complémentaire parmi 10. Pour la partie principale, le nombre de combinaisons possibles est C(49, 5).
C(49, 5) = 49! / (5! × 44!) = (49 × 48 × 47 × 46 × 45) / (5 × 4 × 3 × 2 × 1) = 254 251 200 / 120 = 1 906 884. Il y a donc environ 1,9 million de combinaisons possibles pour les 5 numéros. En tenant compte du numéro chance (1 parmi 10), le nombre total de combinaisons pour le jackpot est 1 906 884 × 10 = 19 068 840. La probabilité de gagner le jackpot est donc de 1 sur 19 068 840.
Sophie compare avec l'Euromillions : 5 numéros parmi 50 + 2 étoiles parmi 12. C(50,5) × C(12,2) = 2 118 760 × 66 = 139 838 160. Environ 140 millions de combinaisons. Les chances de gagner le jackpot sont 7 fois plus faibles qu'au Loto national.
Sophie organise un tournoi : arrangements avec contraintes
Pour son club de randonnée, Sophie organise un podium photographique : elle doit placer 3 personnes parmi 8 membres volontaires sur une photo avec des positions distinctes (1er plan gauche, 1er plan centre, 1er plan droite). Cette fois l'ordre compte, car chaque position est différente.
A(8, 3) = 8 × 7 × 6 = 336. Il y a 336 façons différentes d'attribuer les 3 positions parmi 8 personnes. Si elle avait voulu simplement choisir 3 personnes pour figurer sur la photo (sans position précise), ce serait C(8, 3) = 56 façons.
La différence entre 336 et 56 est frappante. Elle illustre pourquoi la distinction entre "l'ordre compte" et "l'ordre ne compte pas" est si importante en dénombrement : ignorer cette distinction peut conduire à surestimer ou sous-estimer le nombre de possibilités par un facteur de k! (ici 6, soit 3! = 6).
La factorielle : une croissance vertigineuse
La factorielle de n (notée n!) est le produit de tous les entiers de 1 à n. Elle croît plus vite que toute exponentielle, ce qui lui vaut une place centrale en combinatoire mais aussi en analyse et en théorie des probabilités.
| n | n! | Ordre de grandeur |
|---|---|---|
| 0 | 1 | Par définition |
| 1 | 1 | — |
| 5 | 120 | — |
| 10 | 3 628 800 | ~3,6 millions |
| 13 | 6 227 020 800 | ~6,2 milliards |
| 20 | 2 432 902 008 176 640 000 | ~2,4 × 10¹⁸ |
| 52 | ~8,07 × 10⁶⁷ | Plus que le nombre d'atomes dans l'univers observable |
| 100 | ~9,33 × 10¹⁵⁷ | Inimaginablement grand |
52! est le nombre de façons différentes de mélanger un jeu de 52 cartes. Ce nombre (~8 × 10⁶⁷) est si grand que chaque fois que vous mélangez un jeu de cartes correctement, vous obtenez avec une probabilité quasi-certaine un ordre qui n'a jamais existé dans toute l'histoire de l'humanité — et qui n'existera probablement plus jamais.
Tableau de synthèse : formules et cas d'usage
| Concept | Formule | L'ordre compte ? | Exemple typique |
|---|---|---|---|
| Factorielle n! | n × (n-1) × ... × 2 × 1 | — | Nb de permutations de n objets distincts |
| Arrangements A(n,k) | n! / (n-k)! | Oui | Podium, code PIN, anagrammes |
| Combinaisons C(n,k) | n! / (k! × (n-k)!) | Non | Loto, tirage, sélection d'équipe |
| Permutations (= A(n,n)) | n! | Oui | Toutes les façons d'ordonner n objets |
| Combinaisons avec répétition | (n+k-1)! / (k! × (n-1)!) | Non | Choisir k boules dans n couleurs avec remise |
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