Binaire, octal, décimal, hexadécimal : passez d’une base à l’autre en un instant. Saisissez un nombre, choisissez son système d’origine, et l’outil ci-dessous affiche aussitôt ses équivalents dans les quatre bases, avec le détail du calcul.
Qu’est-ce qu’une base de numération ?
Une base de numération est le nombre de symboles distincts qu’un système utilise pour écrire tous les nombres. Notre système quotidien est le système décimal, ou base 10 : il s’appuie sur dix chiffres, de 0 à 9. Chaque position d’un nombre correspond à une puissance de la base. Ainsi, dans 2026, le 2 de gauche vaut 2×10³, le 0 vaut 0×10², le 2 suivant 2×10¹ et le 6 final 6×10⁰. C’est ce que l’on appelle la notation positionnelle : la valeur d’un chiffre dépend à la fois de sa nature et de sa place. Ce principe est universel et se transpose à n’importe quelle base : il suffit de remplacer le 10 par la valeur de la base et d’adapter le jeu de symboles disponibles.
Les machines, elles, ne comptent pas en base 10. Un circuit électronique distingue facilement deux états, le courant qui passe ou non, ce qui correspond exactement au système binaire (base 2) et à ses deux seuls chiffres, 0 et 1. Mais le binaire produit des écritures très longues : un simple octet occupe déjà huit chiffres. Pour condenser cela, les informaticiens utilisent l’octal (base 8) et surtout l’hexadécimal (base 16), qui regroupent les bits par paquets et rendent les valeurs bien plus lisibles. Comprendre comment passer d’une base à l’autre est donc une compétence clé en programmation, en électronique numérique et en réseau.
Les quatre bases les plus utilisées en informatique
Quatre systèmes reviennent en permanence dès que l’on manipule des données numériques. Chacun a son terrain de prédilection, mais tous décrivent exactement la même quantité, seule l’écriture change. Le tableau ci-dessous récapitule leurs caractéristiques et le préfixe utilisé dans la plupart des langages de programmation pour lever toute ambiguïté sur la base employée.
| Base | Nom | Chiffres utilisés | Préfixe courant | Usage typique |
|---|---|---|---|---|
| 2 | Binaire | 0, 1 | 0b | Cœur des processeurs, logique numérique |
| 8 | Octal | 0 à 7 | 0o | Permissions de fichiers Unix (chmod) |
| 10 | Décimal | 0 à 9 | aucun | Calculs et affichage courants |
| 16 | Hexadécimal | 0 à 9 puis A à F | 0x | Couleurs, adresses mémoire, codes d’erreur |
En hexadécimal, les six symboles supplémentaires A, B, C, D, E et F représentent respectivement les valeurs 10, 11, 12, 13, 14 et 15. C’est ce qui permet à un seul caractère hexadécimal de coder un nombre allant de 0 à 15, soit exactement quatre bits. Cette correspondance parfaite entre un chiffre hexadécimal et un groupe de quatre bits explique la popularité de cette base dans tout l’univers technique.
Comment convertir d’une base à l’autre
Pour convertir un nombre vers le décimal, on utilise la méthode des poids : on multiplie chaque chiffre par la base élevée à la puissance de sa position, en partant de 0 à droite, puis on additionne le tout. Par exemple, le nombre binaire 1101 vaut 1×2³ + 1×2² + 0×2¹ + 1×2⁰, soit 8 + 4 + 0 + 1 = 13. La même logique s’applique en octal ou en hexadécimal en changeant simplement la base. C’est exactement le détail que l’outil affiche dans son encadré « formule », afin que vous puissiez suivre le raisonnement pas à pas plutôt que de vous fier à un résultat opaque.
Pour aller du décimal vers une autre base, on procède par divisions successives : on divise le nombre par la base, on note le reste, puis on recommence avec le quotient jusqu’à obtenir un quotient nul. Les restes lus de bas en haut donnent le résultat. Ainsi, pour convertir 13 en binaire : 13÷2 donne 6 reste 1, 6÷2 donne 3 reste 0, 3÷2 donne 1 reste 1, 1÷2 donne 0 reste 1. En lisant les restes de bas en haut, on retrouve 1101. Les passages entre binaire, octal et hexadécimal sont encore plus rapides grâce aux regroupements décrits ci-dessous.
- Binaire vers hexadécimal : on regroupe les bits par paquets de quatre en partant de la droite, puis on remplace chaque paquet par son chiffre hexadécimal.
- Binaire vers octal : on regroupe les bits par paquets de trois en partant de la droite, chaque paquet donnant un chiffre octal.
- Hexadécimal vers binaire : on remplace chaque chiffre hexadécimal par ses quatre bits correspondants.
- Octal vers binaire : on remplace chaque chiffre octal par ses trois bits correspondants.
Table de correspondance des bases
Mémoriser les premières valeurs dans les quatre systèmes accélère énormément les conversions manuelles, notamment le passage entre binaire et hexadécimal par groupes de quatre bits. Voici la table de référence de 0 à 16.
| Décimal | Binaire | Octal | Hexadécimal |
|---|---|---|---|
| 0 | 0000 | 0 | 0 |
| 1 | 0001 | 1 | 1 |
| 2 | 0010 | 2 | 2 |
| 3 | 0011 | 3 | 3 |
| 4 | 0100 | 4 | 4 |
| 5 | 0101 | 5 | 5 |
| 6 | 0110 | 6 | 6 |
| 7 | 0111 | 7 | 7 |
| 8 | 1000 | 10 | 8 |
| 9 | 1001 | 11 | 9 |
| 10 | 1010 | 12 | A |
| 11 | 1011 | 13 | B |
| 12 | 1100 | 14 | C |
| 13 | 1101 | 15 | D |
| 14 | 1110 | 16 | E |
| 15 | 1111 | 17 | F |
| 16 | 10000 | 20 | 10 |
Un exemple complet pas à pas
Prenons le nombre décimal 2026 et convertissons-le en hexadécimal. On divise par 16 de façon répétée : 2026÷16 donne 126 reste 10, ce qui s’écrit A ; 126÷16 donne 7 reste 14, soit E ; 7÷16 donne 0 reste 7. En lisant les restes de bas en haut, on obtient 7EA. On peut vérifier le résultat en repassant par la méthode des poids : 7×16² + 14×16¹ + 10×16⁰ = 1792 + 224 + 10 = 2026. Le compte est bon. Pour obtenir la forme binaire, il suffit de traduire chaque chiffre hexadécimal en quatre bits : 7 devient 0111, E devient 1110 et A devient 1010, ce qui donne 0111 1110 1010, soit 11111101010 une fois le zéro de tête retiré. Ce va-et-vient entre bases est instantané avec l’outil, mais savoir le refaire à la main reste précieux en examen ou en entretien technique.
Si vous travaillez régulièrement les nombres et leurs propriétés, d’autres outils du site prolongent naturellement ces conversions : notre calculatrice de puissances et de racines éclaire le rôle des exposants au cœur de la notation positionnelle, tandis que la calculatrice de PGCD et PPCM mobilise elle aussi les divisions successives. Pour un autre grand classique de l’algèbre, jetez un œil à la calculatrice d’équation du second degré.
Pourquoi l’hexadécimal est partout en informatique
L’hexadécimal doit son omniprésence à un équilibre idéal : il est compact tout en restant directement relié au binaire. Comme quatre bits forment exactement un chiffre hexadécimal, un octet (huit bits) s’écrit toujours avec deux caractères, de 00 à FF, c’est-à-dire de 0 à 255. Cette régularité se retrouve dans les couleurs du web, où une teinte s’exprime par trois octets sous la forme #RRGGBB : le blanc pur est #FFFFFF, le rouge vif #FF0000. On la croise aussi dans les adresses mémoire, les codes d’erreur système, les empreintes cryptographiques ou encore les adresses MAC des cartes réseau. Là où une valeur binaire serait interminable et source d’erreurs de lecture, sa version hexadécimale tient en quelques signes faciles à vérifier.
Questions fréquentes
Quelle est la différence entre un bit et un octet ?
Un bit est la plus petite unité d’information : il vaut 0 ou 1. Un octet regroupe huit bits et peut donc représenter 256 valeurs différentes, de 0 à 255. En hexadécimal, un octet s’écrit toujours avec deux chiffres, ce qui en fait l’unité de lecture privilégiée des programmeurs.
Pourquoi utiliser le préfixe 0x devant un nombre ?
Le préfixe 0x signale qu’un nombre est écrit en hexadécimal, pour éviter toute confusion : sans lui, on ne saurait pas si « 10 » vaut dix en décimal ou seize en hexadécimal. De la même manière, 0b annonce du binaire et 0o de l’octal dans la plupart des langages de programmation.
Comment convertir rapidement du binaire en hexadécimal ?
On regroupe les bits par paquets de quatre en partant de la droite, en complétant si besoin le paquet de gauche avec des zéros, puis on remplace chaque paquet par son chiffre hexadécimal grâce à la table de correspondance. C’est la méthode la plus rapide, car elle évite tout passage par le décimal.
L’outil gère-t-il les nombres décimaux à virgule ?
Ce convertisseur traite les entiers positifs, qui couvrent la très grande majorité des besoins en informatique et en électronique. Les nombres à virgule utilisent une représentation différente, dite en virgule flottante, qui obéit à des règles spécifiques et sort du cadre d’une conversion de base simple.
À quoi sert encore l’octal aujourd’hui ?
L’octal reste surtout employé pour définir les permissions de fichiers sous Unix et Linux, via la commande chmod : un code comme 755 y décrit les droits de lecture, d’écriture et d’exécution. En dehors de cet usage, l’hexadécimal l’a largement supplanté car il correspond plus naturellement à l’organisation des données par octets.
Baptiste conçoit et rédige les outils et contenus publiés sur un-calcul.fr. Sa démarche repose sur la clarté et la précision : chaque calculatrice est pensée pour fournir un résultat fiable, compréhensible et directement utilisable par tous.